乙Py先生のプログラミング教室

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数学

さて、今年も受験シーズンですねーー

数学の問題をプログラムで解くという
無駄なことをやっていきたいと思います。

解説動画はこちら





2020年の数学1の問題です。

さてまず最初は

スクリーンショット 2020-01-26 16.48.25

問題見るだけだと
なんだかよく分からないですよねー

まずはこの直線L君を作図してあげましょう。
そうすれば分かりやすくなるはずです。

Python言語では
数学的な作図が非常に楽です。

数式用、作図用のライブラリを
インポートします。
import numpy as np
import warnings
import matplotlib.pyplot as plt
warnings.simplefilter('ignore')
%matplotlib inline

作図では直線を描くので
x軸、y軸の値が必要になります。

y軸の値は数式を元に生成されるので
x軸の値を適当に生成します。

numpyのlinspaceで
数値を適当に生成することができます。
a=1
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = (a**2-2*a-8)*x + a
plt.plot(x, y,label=str(a))
plt.legend()
plt.show()
download



aが１の時を作図してみると
傾きは右肩下がりで負の値になっています。

今度はaが8の時を試してみます。
download-1

そうすると右肩上がりで
傾きが正の値になりました。

どこかに境界線があるはずです。

aの値を複数用いて
まとめて作図してみます。
for a in range(1,6):
    x = np.linspace(-5, 5, 100)
    y = (a**2-2*a-8)*x + a
    plt.plot(x, y,label=str(a))

plt.legend()
plt.show()
download-2
aの値を1から5までで作図すると
4の時に平行になったように見えます。
5になると正の値になっているように見えます。

と言うことで4が境界線に
なっていると言えそうです。

ただし、aの値は負の値を取ることも
考えられますので、aが負の時も
作図してみます。
for a in range(-6,0):
    x = np.linspace(-5, 5, 100)
    y = (a**2-2*a-8)*x + a
    plt.plot(x, y,label=str(a))

plt.legend()
plt.show()
download-3
aが負の場合
-2で平行になっているように見えますね。

合わせると回答すべきポイントは
アイ< a < ウなので

-2 < a < 4

と言う感じになりますね。

ただしこれだと
図からの判断なので
実際に傾きを求めてみましょう。

傾きは
スクリーンショット 2020-01-26 16.48.46
にて求めることができます。

x,yの共分散は
np.cov(x,y)[0,1]

xの分散は
np.var(x)

これで求めることができます。

これでaを入れて傾きを求めてみると
for a in range(-5,6):
    x = np.linspace(-5, 5, 100)
    y = (a**2-2*a-8)*x + a
    
    # 傾き = x,yの共分散 / xの分散
    coef = np.cov(x,y)[0,1] / np.var(x)
    print(a,'\t',coef)
-5 	 27.27272727272728
-4 	 16.161616161616156
-3 	 7.070707070707068
-2 	 0.0
-1 	 -5.050505050505051
0 	 -8.080808080808078
1 	 -9.090909090909092
2 	 -8.080808080808078
3 	 -5.050505050505051
4 	 0.0
5 	 7.070707070707068




はい、これで-2と4のところで
ちゃんと傾きは0で平行になっていますので
それを越えれば傾きが正になることが確認できました。


続いて

スクリーンショット 2020-01-26 16.48.55

先ほどの直線Lとx軸の交点と言っているので
x軸を作図してあげれば
交点bが分かりやすくなります。

プログラム上では
単純にy=0とし、xを適当な値で結んで
直線を描けばx軸になります。
a=1
x = np.linspace(-5, 5, 100)
y = (a**2-2*a-8)*x + a

# 直線Lを作図
plt.plot(x, y,label=str(a))
# x軸を作図
plt.plot([-5,5], [0,0],c='red')
plt.legend()
plt.show()
download-4

はい、赤線と青線の交わる部分が交点bですねー

さてaが変われば傾きが変わり
交わる部分も変わってくるのですが

求めたい交点bについては
yの値は0なのでxの値を求めてあげれば
良いと言うことになります。

と言うことで
直線の式を変形して
xの値を求めてみましょう。

式を変形すると
y = (a**2-2*a-8)*x + a

y-a = (a**2-2*a-8)*x

(y-a)/(a**2-2*a-8) = x

x = (y-a)/(a**2-2*a-8)
y=0なので、yの部分を0に変えてあげれば
xの値をすぐに求めることができますね。

aを変えてxを求めてみましょう。

まずは　a > 0　の場合

for a in range(0,11):
    if (a**2-2*a-8)!=0:
        x = (0-a)/(a**2-2*a-8)
        print(a,'\t',x)

0 	 -0.0
1 	 0.1111111111111111
2 	 0.25
3 	 0.6
5 	 -0.7142857142857143
6 	 -0.375
7 	 -0.25925925925925924
8 	 -0.2
9 	 -0.16363636363636364
10 	 -0.1388888888888889

これでみると4のところが無くて
5から負の値になっていますね。

4の値をもう少し細かく見てみましょう。
for a in np.linspace(3.9, 4.1, 21):
    if (a**2-2*a-8)!=0:
        x = (0-a)/(a**2-2*a-8)
        print('{:.03}'.format(a),'\t',x)

3.9 	 6.610169491525415
3.91 	 7.3510058281631725
3.92 	 8.277027027027007
3.93 	 9.467598169115819
3.94 	 11.054994388327726
3.95 	 13.277310924369653
3.96 	 16.610738255033528
3.97 	 22.166387493020434
3.98 	 33.277591973244355
3.99 	 66.6110183639381
4.01 	 -66.72212978369552
4.02 	 -33.38870431893784
4.03 	 -22.277501381979285
4.04 	 -16.72185430463576
4.05 	 -13.388429752066106
4.06 	 -11.166116611661277
4.07 	 -9.578724405742625
4.08 	 -8.388157894736848
4.09 	 -7.462141944900592
4.1 	 -6.721311475409841

と言うことで4を越えると
xが０未満になり成立しません。

a > 0 の場合、b > 0となるのは　エ < a < オ
なので

答えは

0 < a < 4

ですね。


a<=0の場合は
for a in range(-10,0):
    if (a**2-2*a-8)!=0:
        x = (0-a)/(a**2-2*a-8)
        print(a,'\t',x)

-10 	 0.08928571428571429
-9 	 0.0989010989010989
-8 	 0.1111111111111111
-7 	 0.12727272727272726
-6 	 0.15
-5 	 0.18518518518518517
-4 	 0.25
-3 	 0.42857142857142855
-1 	 -0.2

-2で負の値に切り替わりますね。
-2付近を細かく見ると
 for a in np.linspace(-3, -1, 21):
    if (a**2-2*a-8)!=0:
        x = (0-a)/(a**2-2*a-8)
        print('{:.03}'.format(a),'\t',x)

-3.0 	 0.42857142857142855
-2.9 	 0.466988727858293
-2.8 	 0.5147058823529413
-2.7 	 0.5756929637526651
-2.6 	 0.6565656565656565
-2.5 	 0.7692307692307693
-2.4 	 0.9375000000000004
-2.3 	 1.2169312169312176
-2.2 	 1.774193548387094
-2.1 	 3.4426229508196755
-1.9 	 -3.220338983050848
-1.8 	 -1.551724137931033
-1.7 	 -0.9941520467836252
-1.6 	 -0.7142857142857142
-1.5 	 -0.5454545454545454
-1.4 	 -0.4320987654320987
-1.3 	 -0.3504043126684635
-1.2 	 -0.28846153846153844
-1.1 	 -0.2396514161220043
-1.0 	 -0.2

はい、これで-2を界に
負の値になることが確認できたので

a <= 0 の場合、b > 0となるのは　a < カキ

a < -2

となりました。

ふう
普通に問題を解くのに比べて
３倍ほどは時間がかかるんじゃないでしょうかね

このように
無駄なコードを書くことで
プログラミングを上達させることが
できるかもしれません。

お暇であれば試してみるのもいかがでしょうか？

今回はこれまでです。
それでは
タグ ：
#Python
#プログラミング
#センター試験
#数学
#受験

はいどうも
乙pyです。

久々に
東の方の大学の入試問題を
解いていきたいと思います。

解説動画はこちら





さて
問題はこれです。
スクリーンショット 2019-09-28 16.27.37

さて
こいつを解くには
sympy
を用います。

sympyでは複雑な計算結果を
求めることできます。

ライブラリを読み込みしておきましょう。
import sympy
x = sympy.Symbol('x')

x をシンボル変数として読み込みしておくと
数式を定義する際に使うことができます。

次に数式の打ち込みです。

何かしらの変数に
数式を代入していきます。
f = (x**2+x/sympy.sqrt(1+x**2))*(1+x/((1+x**2)*sympy.sqrt(1+x**2)))

上の問題の数式をプログラムでの数式に置き換えると
こんな感じになります。

()で割り算などの優先順位をつけるのは
数学の書き方と一緒です。
ルートはsqrt関数を用いて表します。

最後に積分の計算です。
sympyでは

sympy.integrate(数式 , (x , 0 , 1 ))

となります。

最後に計算結果を表示です。

変数に計算結果を代入してプリントするだけですね。

まとめると

f = (x**2+x/sympy.sqrt(1+x**2))*(1+x/((1+x**2)*sympy.sqrt(1+x**2)))
F = sympy.integrate(f , (x,0,1))
print(F)

-35/12 + pi/8 + 5*sqrt(2)/2

はい答え出ました。

計算結果がプログラム上での表記で出力されます。

通常の数式表示と違うので
これだと分かりづらいかも知れませんね

そんな時は
Latexという数式を表示させるための
言語があるので
その形式で出力し直すことができます。

print(sympy.latex(F))


- \frac{35}{12} + \frac{\pi}{8} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}

はいこいつを
JupyterNotebookなどのマークダウンセルに打ち込みすれば
通常の数式表示されます。

答えを数式表示させると
スクリーンショット 2019-09-28 16.43.22

はいこれで
分かりやすくなりましたね。


さて
いかがでしたでしょうか？
Sympyを使うと
結構大変な計算もすぐに
解けるし助かるんじゃないかと思います。

そもそもの
数式を入力するのに
30秒以上掛かってるって？

気のせいです！！！

今回はこれまでです。
それでは。

 
タグ ：
#Python
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#数学
#積分
#入試問題

今回はヒマなので
なーんか面白いことないかーとか
思っていましたら

東の方に
有名な大学が有るらしいんですよ。


東京大学って知ってます？

自分は行ったことないんで
よく知らないんですけど
有名大学みたいなので
数学の問題を解いてみることにしました。

解説動画はこちら



2003年の東大の入試問題より
 
円周率が 3.05 より大きいことを証明せよ。


さて
どう解きましょうかねー

とりあえず
円周の長さ ＞ 内接X角形の外周

になるはずなので
この内接する多角形の外周を求めて
それが3.05よりも大きければ

総じて
円周率> 3.05 
となるのではないかと思います。

まずは円を描いてみましょう。

Pythonのライブラリを用いて
円を描いてみます。

# ライブラリの読み込み
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
% matplotlib inline

描画用のライブラリとして
matplotlibを読み込んでおきます。

# 半径5の円を描く
plt.figure(figsize=(2,2),dpi=300)
r = 5
x = [np.sin(np.radians(_x))*r for _x in np.linspace(-180,180,361)]
y = [np.cos(np.radians(_y))*r for _y in np.linspace(-180,180,361)]
plt.plot(x,y)

plt.xticks([i for i in range(-r,r+1)])
plt.yticks([i for i in range(-r,r+1)])
plt.axes().set_aspect('equal','datalim')
plt.show()
en1
円を描くにはx,y座標が必要ですが
その点を求めるのにnumpyを使います。

numpy.linspaceで等間隔の配列が作成できます。

あとはx,y座標の点を求めるのに
numpy.sin , numpy.cos　を使います。
sin , cos に渡せるのはradianでないといけないので
一旦numpy.radiansで変換します。

これで円を描くことができます。


次にこの円に内接する多角形を描いてみましょう。
今回は12角形を描くこととします。

わかりやすくするために
三角形の辺の長さが3:4:5になるという法則を用いて
座標を決めていきます。

一番長い5の辺は円に接する先端ですね。
あとはx,yの座標は3か4になります。

一番上をx=0,y=5として座標点をプロットしてあげます。
# 内接する12角形を描画
plt.figure(figsize=(2,2),dpi=300)
r = 5
x = [np.sin(np.radians(_x))*r for _x in np.linspace(-180,180,361)]
y = [np.cos(np.radians(_y))*r for _y in np.linspace(-180,180,361)]
plt.plot(x,y)

x2 = [0,3,4,5,4,3,0,-3,-4,-5,-4,-3,0]
y2 = [5,4,3,0,-3,-4,-5,-4,-3,0,3,4,5]
plt.plot(x2,y2)

plt.xticks([i for i in range(-r,r+1)])
plt.yticks([i for i in range(-r,r+1)])
plt.axes().set_aspect('equal','datalim')
plt.show()
en2
はいこれで円に接する12角形が描けました。

あとはこの辺の長さを求めて
あげれば良いということになります。

辺の長さを求めるにはどうすれば良いでしょうか？

これはnumpyを使って
ユークリッド距離を求めることで
辺の長さを計算することができます。

numpy.linalg.norm(座標a - 座標b)

これで2点のユークリッド距離を求めることができます。

12角形のうち
全部を求める必要はなく

右上部分の4点を用いて
3辺の長さを計算してみましょう。

x,y座標はそれぞれ
0,5
3,4
4,3
5,0
となるので
そのうち2点を使って計算します。
l = np.array([[0,5],[3,4],[4,3],[5,0]])
c1 = np.linalg.norm(l[0]-l[1])
c2 = np.linalg.norm(l[1]-l[2])
c3 = np.linalg.norm(l[2]-l[3])
ans1 = 4 *(c1+c2+c3)
print(ans1)

30.9550755308

さてこれで多角形の辺の長さが計算できました。

問題文は3.05より大きいことを証明せよなので
比率を合わせます。

この円は半径5の円なので直径は10です。
なので10倍します。
30.5


10倍した30.5よりも
12角形の外周は30.95のため大きくなり

必然的にそれよりも円周は大きいので

円周率>3.05

になるはずです。

さて
描画などについては
Pythonのライブラリを用いると簡単に
描くことができ
また座標間の距離なども
簡単に計算することができます。

数学の問題では
このnumpyとmatplotlibライブラリを使って
いろいろ問題に応用することができます。

数学的な可視化や
その計算については
numpyやmatplotlibライブラリを
用いることが多いです。

単純な計算については
通常のPythonプログラムだけでも
行うことができます。

問題を読み間違わなければ
このくらいの計算は
プログラミングで簡単に行うことができるので

プログラミングを覚えていない方
これから覚えたい方は
ぜひPythonを覚えてみてください。

Pythonについては無料の動画講座を用意しています。
乙py式５時間で学ぶプログラミング基礎(python編)

興味のある方はぜひこちらをご参照くださいませ。

それでは。

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