最近見ているドラマでフラクタル図形が
取り上げられていたので
気になっちゃいました。
今回は色々なフラクタル図形を作図します。
解説動画はこちら
さてフラクタル図形と言うものは
どう言う図形でしょうか？
フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが
導入した幾何学の概念で
取り上げられていたので
気になっちゃいました。
今回は色々なフラクタル図形を作図します。
解説動画はこちら
さてフラクタル図形と言うものは
どう言う図形でしょうか？
フランスの数学者ブノワ・マンデルブロが
導入した幾何学の概念で
図形の一部が全体と
自己相似な構造を持っている
図形のことです。
自己相似な構造を持っている
図形のことです。
結構たくさんの種類があります。
Python言語では作図の方法が沢山あります。
最もメジャーな方法としては
matplotlibを用いた作図です。
matplotlibを用いた作図です。
x,y座標を計算してプロットするものです。
マンデルブロ集合
まず最初はマンデルブロ集合です。
数学者ブノワ・マンデルブロの
名に因む集合体の図形です。
次のようなコードで試すことができます。
スライダーを上げていくと
より細かい感じになっていきます。
一部を見ると貝のような感じにも
見受けられる図形です。
スライダーで三角形の
深さを変えることができます。
と言うのを繰り返すことで
描画する座標を求めて
その点同士を直線で結んでいきます。
スライダーで分割数と
多角形の辺の数を定義できます。
より深くしていくと
曲線に近くなりますね。
ドラマ
「危険なビーナス」では
このフラクタル図形と言うのが
物語の鍵になっているようです。
人間が描こうとすると
かなり至難の技ですが
コンピューターであれば
描く点の座標さえ計算できれば
どんな複雑な図形であっても
描くことができます。
ドラマのフラクタル図形は
もっと複雑でしたね。
これを作るのは大変そう・・・
興味がある方は
作ってみてください。
それでは。
マンデルブロ集合
まず最初はマンデルブロ集合です。
数学者ブノワ・マンデルブロの
名に因む集合体の図形です。
次のようなコードで試すことができます。
from ipywidgets import interact,IntSlider
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline
h,w = 1000,1000
y,x = np.ogrid[ -1.4:1.4:h*1j, -2:0.8:w*1j ]
c = x+y*1j
def mandelbro_plt(rate=30):
z = c
times = rate + np.zeros(z.shape, dtype=int)
for i in range(rate):
z = z**2 + c
diverge = z*np.conj(z) > 2**2
div = diverge & (times==rate)
times[div] = i
z[diverge] = 2
return times
mdb_rate = IntSlider(min=1, max=30, step=1, value=1)
@interact(mdb_rate=mdb_rate)
def plot(mdb_rate):
plt.figure(figsize=(10,10))
plt.imshow(mandelbro_plt(mdb_rate))
plt.show()
スライダーを上げていくと
より細かい感じになっていきます。
一部を見ると貝のような感じにも
見受けられる図形です。
シェルピンスキーのギャスケット
ポーランドの数学者
ヴァツワフ・シェルピンスキに
因んで名づけられた
ヴァツワフ・シェルピンスキに
因んで名づけられた
自己相似的な無数の
三角形からなる図形です。
三角形からなる図形です。
matplotlib.patchesの
Polygonで三角形を描画できるので
これを使っていきます。
Polygonで三角形を描画できるので
これを使っていきます。
patches.Polygon(xy = [座標1, 座標2, 座標2])
少し複雑なプログラムですがスライダーで三角形の
深さを変えることができます。
from ipywidgets import interact,IntSlider
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as pat
import numpy as np
%matplotlib inline
def dist(p1,p2):
return np.sqrt((p1[0]-p2[0])**2 + (p1[1]-p2[1])**2)
def points(p, tri):
d1,d2,d3 = dist(p, tri[0]),dist(p, tri[1]),dist(p, tri[2])
if d1 > d2:
return [p, tri[1], tri[2]] if d1 > d3 else [p, tri[0], tri[1]]
else:
return [p, tri[0],tri[2]] if d2 > d3 else [p, tri[0],tri[1]]
def make_tri(tri):
x1,y1 = (tri[0][0] + tri[1][0])/2,(tri[0][1] + tri[1][1])/2
x2,y2 = (tri[1][0] + tri[2][0])/2,(tri[1][1] + tri[2][1])/2
x3,y3 = (tri[2][0] + tri[0][0])/2,(tri[2][1] + tri[0][1])/2
return [(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)]
def make_fractal(ax,bef, ite):
if ite == 0: return 0
p1,p2,p3 = bef[0],bef[1],bef[2]
tri = make_tri(bef)
ax.add_patch(pat.Polygon(xy = tri,fc = "white", ec = "black"))
make_fractal(ax,points(p1,tri), ite-1)
make_fractal(ax,points(p2,tri), ite-1)
make_fractal(ax,points(p3,tri), ite-1)
tri_rate = IntSlider(min=0, max=7, step=1, value=0)
@interact(tri_rate=tri_rate)
def plot(tri_rate):
tri = [(0.2, 0.2), (0.8, 0.2), (0.5, 0.8)]
fig = plt.figure(figsize=(10, 10))
ax = fig.add_subplot(1,1,1)
ax.add_patch(pat.Polygon(xy = tri,fc = "white", ec = "black"))
make_fractal(ax,tri,tri_rate)
plt.show()
コッホ曲線
スウェーデンの数学者
ヘルゲ・フォン・コッホが考案した
ヘルゲ・フォン・コッホが考案した
線分を3等分し分割した2点を
頂点とする正三角形の作図を
頂点とする正三角形の作図を
無限に繰り返すことによって
得られる図形です。
得られる図形です。
PythonのPILのImage.drawを用いて
座標を結ぶ直線を描くことができるので
これを使っていきます。
最初は直線を引き
それを分割するような点を求め
三角形の頂点を求め・・・
座標を結ぶ直線を描くことができるので
これを使っていきます。
最初は直線を引き
それを分割するような点を求め
三角形の頂点を求め・・・
と言うのを繰り返すことで
描画する座標を求めて
その点同士を直線で結んでいきます。
from PIL import Image,ImageDraw
from math import cos,sin,radians
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
%matplotlib inline
def divine(num,tp):
if num>0:
(Ax,Ay),ind=tp[0],1
for (Bx,By) in tp[1:]:
ABx,ABy= Bx - Ax , By - Ay
ACx,ACy= ABx / 3,ABy / 3
Cx,Cy = Ax + ACx,Ay + ACy
Dx,Dy = Ax + ACx*2,Ay + ACy*2
Ex,Ey = cos(r)*ACx - sin(r)*ACy + Cx,sin(r)*ACx + cos(r)*ACy + Cy
tp.insert(ind, (Cx,Cy))
tp.insert(ind+1,(Ex,Ey))
tp.insert(ind+2,(Dx,Dy))
ind,Ax,Ay=ind+4,Bx,By
divine(num-1,tp)
def calc_cell(n,t):
divine(n,t)
return t
n1_rate = IntSlider(min=0, max=5, step=1, value=0)
n2_rate = IntSlider(min=3, max=12, step=1, value=3)
@interact(n1_rate=n1_rate,n2_rate=n2_rate)
def plot(n1_rate,n2_rate):
white,black=(255,255,255),(0,0,0)
w,h = 2000,2000
img=Image.new('RGB',(h,w), white)
draw=ImageDraw.Draw(img)
x,y,r=[],[],w//2
for _x in np.linspace(-180,180,361):
if _x%(360//n2_rate)==0:
x.append(int(sin(radians(_x))*r*3//4)+r)
y.append(int(cos(radians(_x))*r*3//4)+r)
x.append(x[0])
y.append(y[0])
poslist = []
xys = [(xx,yy) for xx,yy in zip(x,y)]
tmps = [[xys[b],xys[b+1]]for b in range(len(xys)-1)]
for tmp in tmps:
poslist += calc_cell(n1_rate,tmp)
(Ax,Ay)=poslist[0]
for (Bx,By) in poslist[1:]:
draw.line((Ax,Ay, Bx,By),fill=black,width=5)
Ax,Ay = Bx,By
plt.figure(figsize=(10,10))
plt.imshow(img)
plt.show()
スライダーで分割数と
多角形の辺の数を定義できます。
より深くしていくと
曲線に近くなりますね。
ドラマ
「危険なビーナス」では
このフラクタル図形と言うのが
物語の鍵になっているようです。
人間が描こうとすると
かなり至難の技ですが
コンピューターであれば
描く点の座標さえ計算できれば
どんな複雑な図形であっても
描くことができます。
ドラマのフラクタル図形は
もっと複雑でしたね。
これを作るのは大変そう・・・
興味がある方は
作ってみてください。
それでは。
