先日ノーベル物理学賞を受賞した
ロジャー・ペンローズさんの話です。

 
解説動画はこちら


2020年のノーベル物理学賞は
ブラックホールに関係する物でしたね。

去年こちらのサイトでも
ブラックホール関連を
取り上げていたりしますので
気になる方はこちらもどうぞ。

ブラックホールデカすぎワロタ

さて、今年ノーベル物理学賞を受賞した
ロジャーペンローズさんですが
1931年生まれの89歳くらいの方で
イギリスの数理物理学者、数学者、科学哲学者

受賞理由としては
ブラックホールの形成が一般相対性理論の
強力な裏付けであることの発見だそうです。

一応相対性理論は20世紀初頭に
アインシュタインが創始した
時間と空間に関する理論の事で

ブラックホールの形成過程を
数学的に示したことの論文(1965年)
Gravitational Collapse and Space-Time Singularities
(重力崩壊と時空特異点) 

これが受賞の決め手になったようですね。

アインシュタイン自身はブラックホールを
否定していたけども
ペンローズさんはそれを数学的に
証明したよーって事みたいですね
よくは分かりませんが。


そんなペンローズさんは
色々な不可思議図形を残していたりします。

ペンローズの階段



ペンローズの三角形


こう言う不可思議図形を
考えたりするのが得意だったんでしょうね。

もう一つ有名なのが
「ペンローズのタイル」と言う物で
2種類のひし形で平面を埋めつくす
と言う物です。

いわゆる平面充填問題の一つで
現在では電気剃刀用の網刃として
実用化されているようです。

このペンローズの三角形を
生成するプログラムを
ご紹介します。

なおこのプログラムはこちらの記事を
参考にしています。
参考

なおこの実行には
pycairoと言うライブラリが必要なので
事前にインストールが必要です。

MacOSの方は

brew install cairo pkg-config

conda install pycairo

Anacondaを利用している方は
これでインストール出来るかと思います。

さてコードの方ですが

# 要pycairo のインストール
import math
import cmath
import cairo
import matplotlib.pyplot as plt
from PIL import Image
%matplotlib inline

ratio = (1 + math.sqrt(5)) / 2

# 分割関数
def divine(trs):
    result = []
    for color, a, b, c in trs:
        if color == 0:
            P = a + (b - a) / ratio
            result += [(0, c, P, b), (1, P, c, a)]
        else:
            Q , R = b + (a - b) / ratio , b + (c - b) / ratio
            result += [(1, R, c, a), (1, Q, R, b), (0, R, Q, a)]
    return result

# ペンローズのタイルを作る関数
def make_penrose_tile():
    # 三角形生成
    triangles = []
    for i in range(10):
        b = cmath.rect(1, (2*i - 1) * math.pi / 10)
        c = cmath.rect(1, (2*i + 1) * math.pi / 10)
        if i % 2 == 0:
            b, c = c, b
        triangles.append((0, 0j, b, c))
    for i in range(SUBDIVISIONS):
        triangles = divine(triangles)

    # 描画設定
    surface = cairo.ImageSurface(cairo.FORMAT_ARGB32, SIZE[0], SIZE[1])
    cr = cairo.Context(surface)
    cr.translate(SIZE[0] / 2.0, SIZE[1] / 2.0)
    radius = 1.2 * math.sqrt((SIZE[0] / 2.0) ** 2 + (SIZE[1] / 2.0) ** 2)
    cr.scale(radius, radius)

    # 赤三角の描画
    for color, a, b, c in triangles:
        if color == 0:
            cr.move_to(a.real, a.imag)
            cr.line_to(b.real, b.imag)
            cr.line_to(c.real, c.imag)
            cr.close_path()
    cr.set_source_rgb(t_color1[0],t_color1[1],t_color1[2])
    cr.fill()    

    # 青三角の描画
    for color, a, b, c in triangles:
        if color == 1:
            cr.move_to(a.real, a.imag)
            cr.line_to(b.real, b.imag)
            cr.line_to(c.real, c.imag)
            cr.close_path()
    cr.set_source_rgb(t_color2[0],t_color2[1],t_color2[2])
    cr.fill()

    # 三角形のサイズから線幅を決定
    color, a, b, c = triangles[0]
    cr.set_line_width(abs(b - a) / 10.0)
    cr.set_line_join(cairo.LINE_JOIN_ROUND)

    # 外枠の描画
    for color, a, b, c in triangles:
        cr.move_to(c.real, c.imag)
        cr.line_to(a.real, a.imag)
        cr.line_to(b.real, b.imag)
    cr.set_source_rgb(l_color[0],l_color[1],l_color[2])
    cr.stroke()

    # 画像の保存
    surface.write_to_png('penrose.png')

実行部分はコレ

# 設定
SIZE,SUBDIVISIONS = (1000, 1000) , 8
t_color1, t_color2 , l_color = (1.0, 0.1, 0.1),(0.4, 0.4, 1.0),(0.2, 0.2, 0.2)
# タイルの作成
make_penrose_tile()
im = Image.open("penrose.png")
plt.figure(figsize=(8,8));plt.imshow(im);plt.show()

実行するには画像サイズ(SIZE)と
分割数(SUBDIBISIONS)を変えてもらい
色を変えたければcolorは3つ変更箇所があるので
そこの数値を弄ると変更できます。

実行するとローカルに画像が生成され
それを表示しています。



こんな感じのタイルが生成されます。

分割数を大きくすると


より細かくなっていきます。

ひし形２種類の色合いを変えれば

こんなモノクロも生成できますんで
興味がある方は試してみてください。

それでは。

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