[Pythonプログラミング]ギャンブルの破産確率 : 乙Py先生のプログラミング教室

ルーレットなどのギャンブル
元手が倍になる確率はいくらになるでしょうか?

解説動画はこちら

問題

カジノのルーレットで元手が倍になる確率はどれくらいでしょうか?

ルール

100ドルを元手に 1ドル単位で賭け続け
200ドルに到達するか0になったら終了

数字は1-36まであり、赤か黒の色が設定されている

数字0(緑)が1個、ここに当たるとディーラーが勝ち、賭けは没収

赤か黒に賭けると、当たったら2倍の払い戻し

このルールだと、元手が2倍になる確率はどれくらいでしょうか?

回答

ルーレットの元手が倍になる確率は
ギャンブラーの破産問題の公式に当てはめると解けるようです。

スタート資金を i、目標を N、負けたら破産（0）
勝率 p、負け率 q=1-p のとき

目標に到達する確率は以下で表せます：

この式に代入していくと

• i = 100

• N = 200

• p = 18/37 = 0.48648649

• q = 19/37 = 0.51351351

こんな感じになり
計算式に当てはめると

となります。

最終的な確率を求める部分を
Pythonのコードでやってみましょう。

p =  (1 - (19/18) ** 100) / ( 1 - (19/18) ** 200 )
print(p)
print(f"{p*100:.04}%")

0.004466284539492003

0.4466%

大体、0.45%くらい
1000回挑戦したら、4-5回でしょうか。

ルーレットのシミュレーションコード

これを実際にシミュレーションしてみます。

コードを簡略化するために
赤と黒の代わりに奇数なら当たり
偶数ならハズレにしてやってみます。

import random

def simulate_game(start=100, goal=200, trials=10):
    bankrupt_count, double_count = 0, 0
    for _ in range(trials):
        money = start
        while 0 < money < goal:
            # ルーレットの出目を 0-36 からランダムに選ぶ
            spin = random.randint(0, 36)
            if spin % 2 == 0:  # 偶数 → 負け
                money -= 1
            else:  # 奇数 → 勝ち
                money += 1
        if money == 0:
            bankrupt_count += 1
        elif money == goal:
            double_count += 1

    print(f"シミュレーション回数: {trials}")
    print(f"破産した回数: {bankrupt_count}")
    print(f"200ドルに到達した回数: {double_count}")
    print(f"破産確率: {bankrupt_count/1000:.3f}")
    print(f"成功確率: {double_count/1000:.3f}")

simulate_game(trials=1000)

シミュレーション回数: 1000

破産した回数: 997

200ドルに到達した回数: 3

破産確率: 0.997

成功確率: 0.003

おおよそ、数式の数値を近くはなりますね。

1000人いたら
4-5人は元手を増やしてカジノを出ることができる
そんな確率ですかね。

ルーレット以外の破産確率

1.ブラックジャック（基本戦略でプレイ）

2.パチンコ（一般的な遊技機）

3.競馬（単勝を繰り返す単純モデル）

この破産確率も見てみます。

ここでは計算を簡略化するために
1ゲームあたりの勝率を使って近似確率を求めていきます。

1ゲームあたりの勝率は以下のように設定することとします。

• ブラックジャック（基本戦略＋カジノ側有利）

　→ プレイヤー勝率 ≈ 0.49、負け ≈ 0.51

• パチンコ（通常 0.80〜0.90 程度の還元率）

　→ 実質勝率 ≈ 0.45、負け ≈ 0.55

• 競馬（通常 0.70〜0.80 程度の還元率）

　→ 実質勝率 ≈ 0.40、負け ≈ 0.50 と仮定

ルーレットにこの3つも加えてシミュレーションするコード

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 50  

def ruin_probability(s, N, p):
    """
    ギャンブラーの破産確率
    s: 初期資金
    N: 目標資金
    p: 勝率
    """
    q = Decimal(1) - p
    if p == q:
        return Decimal(1) - Decimal(s) / Decimal(N)
    else:
        ratio = q / p
        num = ratio**Decimal(s) - ratio**Decimal(N)
        den = Decimal(1) - ratio**Decimal(N)
        return num / den

# パラメータ
s = Decimal(100)   # 初期資金
N = Decimal(200)   # 目標資金

games = {
    "ブラックジャック": Decimal("0.49"),
    "ルーレット" : Decimal("0.48648649"),
    "パチンコ": Decimal("0.45"),
    "競馬": Decimal("0.40")
}

for game, p in games.items():
    ruin = ruin_probability(s, N, p)
    success = Decimal(1) - ruin
    print(f"{game}:")
    print(f"  破産確率  = {ruin:.20}")
    print(f"  倍化確率  = {success:.20}")
    print()

ブラックジャック:

破産確率 = 0.98202320998693248326

倍化確率 = 0.017976790013067516735

ルーレット:

破産確率 = 0.99553370920702988362

倍化確率 = 0.0044662907929701163797

パチンコ:

破産確率 = 0.99999999807255307809

倍化確率 = 1.9274469219075612712E-9

競馬:

破産確率 = 0.99999999999999999754

倍化確率 = 2.4596544265798292632E-18