[Pythonプログラミング]ブラックショールズ方程式でオプション価格を計算してみよう : 乙Py先生のプログラミング教室

今回はブラック-ショールズ方程式で
オプション価格を計算する方法についてです

解説動画はこちら

ブラック-ショールズ方程式とは

デリバティブの価格づけに現れる
偏微分方程式のことです。

デリバティブは株式や債券、通貨、商品などの
原資産から派生した金融商品の総称のことです。

ブラックショールズ方程式は主に

ヨーロピアン・オプション（満期時のみ行使可）の
理論価格を求めるためのモデルになっています。

オプション取引とは

金融商品のデリバティブの一種で

ある原資産について、あらかじめ決められた
将来の一定の日または期間において

事前に定めた権利行使価格で取引できる
「権利」のことです

原資産を
買う権利についてのオプションを「コールオプション」

売る権利についてのオプションを「プットオプション」
と呼んでいます。

日経225オプション

日経225オプションの価格情報があります。

オプション取引の価格計算ツール(日本取引所)

価格計算ツールもついているので
今回はこの計算方法をPythonで再現します。

ブラックショールズの計算式について

モデルの前提条件

• 価格は幾何ブラウン運動に従う

• 市場は完全で、裁定取引がない

• 無リスク金利は一定

• ボラティリティ（変動率）は一定

• 配当は考慮しない（配当あり版も考慮は可）

使用する変数

S 現在の価格（Spot Price）

K 権利行使価格（Strike Price）

T 満期までの残存期間（年単位）

r 無リスク金利（年利）

σ 価格のボラティリティ（年率標準偏差）

ブラック-ショールズの数式

コールオプション価格（買う権利）：

プットオプション価格（売る権利）：

こんな感じの計算式になっていますが
途中、d1,d2というものが必要になります。

d_1, d_2 の定義

なお、N(x) は標準正規分布の累積分布関数（CDF）になります。

オプション計算のPythonコード

下記の関数で、オプション価格を計算できます。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

def black_scholes_option_price(S, K, T, r, sigma, option_type='call'):
    """
    ブラック-ショールズ方程式によるオプション価格の計算
    S: 現在の株価
    K: 権利行使価格
    T: 残存期間（年単位）
    r: 無リスク金利（年利）
    sigma: ボラティリティ（年率標準偏差）
    option_type: 'call' か 'put'
    """
    d1 = (np.log(S / K) + (r + sigma**2 / 2) * T) / (sigma * np.sqrt(T))
    d2 = d1 - sigma * np.sqrt(T)
    if option_type == 'call':
        price = S * norm.cdf(d1) - K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(d2)
    elif option_type == 'put':
        price = K * np.exp(-r * T) * norm.cdf(-d2) - S * norm.cdf(-d1)
    else:
        raise ValueError("option_type must be 'call' or 'put'")
    return price

実際に値を入れて計算する場合はこのようになります。
日数で計算したい場合は年単位なのでうまく合わせます。

# パラメータ例
S = 39425       # 現在の価格
K = 40000       # 権利行使価格
T = 62/365      # 満期まで62日
r = 0.0         # 無リスク金利 0%
sigma = 0.1883  # ボラティリティ 18.83%

call_price = black_scholes_option_price(S, K, T, r, sigma, option_type='call')
put_price = black_scholes_option_price(S, K, T, r, sigma, option_type='put')

print(f"Call Option Price: {call_price:.4f}")
print(f"Put Option Price : {put_price:.4f}")

Call Option Price: 963.0367

Put Option Price : 1538.0367

まとめ

この計算結果をどう応用するかですが

オプション取引の戦略を決定するために使います。

市場価格 > 理論価格

オプションが「割高」

プットまたはコールを「売る（ショート）」

市場価格 < 理論価格

オプションが「割安」

プットまたはコールを「買う（ロング）」

ということになります。