たまには真面目に
数学の問題を解いてみましょう

2023年度の東大の数学の問題です


解説動画はこちら



今回は数学の問題です

手で解いたら解法が分からず
すごく時間が掛かってしまう問題も
プログラミングの力を使えば
近似解を簡単に求める事ができます

という訳で
東大の数学の問題を解いてみましょう








12個の順列の問題ですね
プログラミングの力を使えば
こういうのもシミュレーション出来ます


考え方

まずは石を用意しましょう
次にその石の並びで隣同士なのかどうかを
チェックする方法を考えてみましょう

次のようなやり方で
石のデータと判定方法を
考える事ができます

# 12個の玉を作って試してみる
import numpy as np

data = ["b"]*3 + ["r"]*4 + ["w"]*5
np.random.shuffle(data)

# リストを結合して文字列にする
st = "".join(data)

# 赤玉が隣り合わないかどうか
res1 = "rr" not in st
# 上記のに加えて黒玉が隣り合わないかどうか
res2 = res1 & ("bb" not in st)

print(st)
print(res1)
print(res2)

データは文字列やリスト型で定義しておくと
後で計算しやすいです

これを元にして
計算を行ってみましょう



順列を生成してチェックする方法



今回は12個の中から12個を取り出してつくる
順列になるので、その総個数は

import math

math.factorial(12)

479001600


順列は itertools ライブラリの
permutations で作る事ができます

チェック機構では判定式を返し
Trueを1、Falseを0として
条件にあった個数を返していきます

最終的に条件にあった個数と
元の順列の個数を組み合わせれば
確率が求められます

import itertools

def num_check(data):
    st = "".join(data)
    res1 = "rr" not in st
    res2 = res1 & ("bb" not in st)
    return res1, res2

data = ["b"]*3 + ["r"]*4 + ["w"]*5

ans1, ans2 = 0, 0
for t in itertools.permutations(data):
    t1,t2 = num_check(t)
    ans1+=t1
    ans2+=t2

# 総当たりの個数(順列の個数)
permutations_num = math.factorial(12)

print("1の答え : {0}".format(ans1/permutations_num))
print("2の答え : {0}".format(ans2/ans1))

シミュレーションしてみる


総当たりの方法が思いつかなくても
シミュレーションで近似解を求める事ができます

先ほどは順列を作って繰り返しを行っていましたが
単純に回数を指定して、ランダムに並び替えた後に
チェックを行えば、順列の際の近似が求められます

チェック関数は先ほどのを用いるとして
次のような計算でシミュレーションできます

import numpy as np

N = 100000000

ans2_1, ans2_2 = 0, 0
for i in range(N):
    data = ["b"]*3 + ["r"]*4 + ["w"]*5
    np.random.shuffle(data)
    t1,t2 = num_check(data)
    ans2_1+=t1
    ans2_2+=t2

print("1の答え : {0}".format(ans2_1/N))
print("2の答え : {0}".format(ans2_2/ans2_1))

小数点第3位くらいまでは
同じ数字になりますね

近似解だと点数は貰えないかもしれませんが
点数関係ない、仕事上の計算であれば
こういったシミュレーションが行えるのが
プログラミングの役に立つポイントです

確率が分からなくても
それっぽい確率を算出する事ができるので
いろいろ便利ですねえ

色々なシミュレーションを行えるので
仕事がめちゃくちゃ捗ります

プログラミング出来ない方は
是非、この機会に覚えてみて下さい


今回は数学の問題を解く
プログラミングでのシミュレーションでした
それでは
 

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