さて
またまた東大の問題です。

確率を求めたりする計算は
プログラムの得意とするところで
業務でもよく出てきます。

いかに東大の問題と言えども
プログラミングができれば
簡単に解けてしまうと思います。

解説動画はこちら




2019年の問題

正八角形の頂点を反時計回りにA,B,C,D,E,F,G,Hとする。
また投げたときにおもて裏の出る確率がそれぞれ2分の1のコインがある。

点Pが最初に点Aにある。次の操作を10回繰り返す。
操作：コインを投げ表が出れば点Pを反時計回りに隣接する頂点に移動させ
裏が出れば点Pを時計回りに隣接する頂点に移動させる。
例えば点Pが点Hにある状態で、投げたコインの表が出れば点Aに移動させ
裏が出れば点Gに移動させる。

以下の事象を考える。

事象S：操作を10回行った後に点Pが点A上にある。
事象T：1回目から10回目の操作によって、点Pは少なくとも1回点Fに移動する。
(1)事象Sが起こる確率を求めよ
(2)事象Sと事象Tがともに起こる確率を求めよ


まずは問題文だけでは分かりづらいので
可視化してみましょう。

正8角形
反時計回りにA,B,C,D,E,F,G,H

この二つの条件で図形を描画してみます。

ライブラリを読み込んで

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

fig = plt.figure(figsize=(2,2),dpi=200)

r = 8
x = [np.sin(i) for i in np.linspace(0,2*np.pi,r+1)]
y = [np.cos(i) for i in np.linspace(0,2*np.pi,r+1)]
plt.plot(x,y)

t = ['A','H','G','F','E','D','C','B','']
for i ,(x1,y1) in enumerate(zip(x,y)):
    plt.text(x1,y1,t[i],ha='center',va='bottom')

plt.show()

このように描画できます。

x,yには正８角形の各x,yの座標

plt.plotではx,y座標を指定し
plt.textで図形に文字を付け加えられます。

生成した座標値は時計回りの座標なので
それを見越して表示させる文字を変えています。

それではイメージできたところで
問題を解いていきましょう。

1つめの問いは

(1)事象Sが起こる確率を求めよ
事象S：操作を10回行った後に点Pが点A上にある。 

まずは問題を解くのに必要なライブラリを読み込みます。

import itertools
from fractions import Fraction

coins = [i for i in itertools.product([1,-1],repeat=10)]
print(len(coins))

base = ['C','B','A','H','G','F','E','D','C','B','A','H','G','F','E','D','C','B','A','H','G’]
print(base[10])

1024
A

コインを10回ふった際の結果をcoinsという変数に格納します。

itertools.productで表裏の結果10回繰り返した際の順列が生成できます。
引数はその1回の組み合わせをリストで定義し
repeat=回数　で繰り返し回数が指定できます。

表は-1、裏は1として定義してrepaetが10回ですね。

単純に2の10乗回数だけコインをふることになりますね。

baseという変数にはAから始まって
時計回りに最大10回
反時計回りに最大10回
移動した際の点を入れます。
真ん中のbase[10]が開始地点です。


用意ができたらあとは計算だけですね。
10回ふった際の最終地点を求めて
その結果を辞書に格納してあげます。

最終地点:回数

とすることで確率が求められます。

calc_dict = {}
for coin in coins:
    key = base[10+sum(coin)]
    if key in calc_dict:
        calc_dict[key] +=1
    else:
        calc_dict[key] =1

for k,v in calc_dict.items():
    print(k,v)

C 256
A 272
E 240
G 256

print(calc_dict['A']/len(coins))
print(Fraction(calc_dict['A'],len(coins)))

0.265625
17/64

コインを10回ふった組み合わせ1024回のうち
Aに戻るのは272回でした。

なので確率としては
272/1064　

約分して
17/64となります。

Fractionで分数計算ができて
約分もしてくれます。

Pythonはこういうところが
めちゃくちゃ便利です。


2つめの問いは

(2)事象Sと事象Tがともに起こる確率を求めよ
事象S：操作を10回行った後に点Pが点A上にある。 
事象T：1回目から10回目の操作によって、点Pは少なくとも1回点Fに移動する。

条件が二つに増えます。

それではコインを10回ふった際の
軌跡を求めてみましょう。

coin_result = []
for coin in coins:
    tmp = 10
    result = ''
    for c in coin:
        tmp += c
        result += base[tmp]
    coin_result.append(result)

組み合わせの数だけ試行して
移動結果を文字としてつなげます。
リスト型に結果を保存します。

最終的に求める条件は
1.Fを通る(Fがある)
2.Aで終わる
この二つを満たす結果があれば
1カウントし、全組み合わせの中から
合致するものの個数を数えます。

count = 0
for row in coin_result:
    if 'F' in row and row[-1]=='A':
        count+=1
print(count)

66

print(count/len(coins))
print(Fraction(count,len(coins)))

0.064453125
33/512

最終的な答えの確率は
66/1024

約分して
33/512
となりました。

さていかがだったでしょうか？
確率を求めたりする計算は
日常業務ではよくでてきます。

数学的な可視化や
その計算については
numpyやmatplotlibライブラリを
用いることが多いです。

単純な計算については
通常のPythonプログラムだけでも
行うことができます。

問題を読み間違わなければ
このくらいの計算は
プログラミングで簡単に行うことができるので

プログラミングを覚えていない方
これから覚えたい方は
ぜひPythonを覚えてみてください。

Pythonについては無料の動画講座を用意しています。
乙py式５時間で学ぶプログラミング基礎(python編)

興味のある方はぜひこちらをご参照くださいませ。

それでは。